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Função variograma: estatística de dois pontos

O Capítulo 5: “Análise geoestatística” em Yamamoto (2020, p. 100-141) se refere à análise dos dados com vistas à determinação do modelo de correlação espacial. Nesse tópico, a função variograma é fundamental e, por isso, ela é tratada em profundidade.

Assim, nos dois artigos referentes a este capítulo, vamos mostrar como se origina a função variograma, por meio da estatística de dois pontos, e como se calcula o mapa variograma que permite determinar as direções de anisotropia do fenômeno espacial em estudo.

Estatística de dois pontos

Considere-se o caso em que uma única variável aleatória será analisada em termos de suas estatísticas bivariadas ou de dois pontos. Como foi apresentado no item 3.41, o diagrama de dispersão é um gráfico que permite visualizar a relação mútua entre duas variáveis aleatórias.

Dessa forma, conforme idealizado por Journel (1989, p. 6), pode-se representar pares de pontos de uma mesma variável aleatória em um diagrama de dispersão (Figura 1). Todo o desenvolvimento matemático a seguir foi baseado em Journel (1989, p. 6).

Figura 1: Diagrama de dispersão para representação de pares de pontos Z(x) e Z(x+h), separados por uma distância h, segundo Journel (1989, p. 6).

Dado um ponto de coordenadas Z(x+h) e Z(x), projeta-se a abscissa desse ponto na reta bissetriz, que é rebatida no eixo das ordenadas. Esta construção define um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é o módulo da diferença |Z(x+h)-Z(x)|.

Como os outros ângulos internos são iguais a 45º, pode-se calcular a distância do ponto à reta bissetriz:

Elevando a distância ao quadrado, tem-se:

Apesar da Figura 1 ter um ponto representado, o diagrama de dispersão é construído com os n pares de pontos separados por uma distância h. Portanto, faz sentido calcular a média das distâncias ao quadrado, que Journel (1989, p. 6) denominou momento de inércia:

Se todos os pontos estiverem sobre a reta bissetriz no diagrama de dispersão, significa que o momento de inércia é zero e o coeficiente de correlação seria igual a um.

A função variograma

A expressão (1) é a precisa definição da função semivariograma, que pode ser escrita simplesmente como:

O semivariograma é uma medida da variância espacial e é a chave para qualquer estimativa geoestatística (Deutsch e Journel, 1992, p. 39).

Função covariância

Outra estatística de dois pontos, que pode ser calculada a partir de pontos separados por uma distância h, chama-se covariância ou função covariância, que pode ser calculada como (Leuangthong et al. (2008, p. 59):

A função covariância para distância nula fica:

ou seja, igual à variância da variável aleatória Z(x).

Relação entre função variograma e função covariância

A relação funcional entre as expressões (2) e (3), pode ser desenvolvida como segue (Yamamoto, 2001, p. 74-76):

A equação (3) pode ser escrita como:

Da mesma forma, a equação (4) pode ser reescrita conforme:

Assumindo a estacionaridade da variável regionalizada, tem-se:

Substituindo-se (6), (7) e (8) em (5), obtém-se:

Quando há necessidade de se obter a função covariância a partir da função semivariograma, usa-se:

Médias de cauda e cabeça

A covariância calculada, conforme a equação (3), considera a média igual tanto para pontos situados em x, como em x+h. Entretanto, Isaaks e Srivastava (1989, p. 59) mostraram que as médias não são iguais na prática. Assim, a covariância pode ser reescrita, considerando essa diferença, como (Deutsch e Journel, 1992, p. 41):

Onde:

Deutsch e Journel (1992) chamam m-h de média dos valores da cauda e m+h como a média dos valores de cabeça, conforme convenção mostrada na Figura 2.

Figura 2: Convenção para denominação de cauda e cabeça no cálculo do variograma (segundo Deutsch e Journel, 1992, p. 40).

Quando há duas variáveis aleatórias (Z e Y) e se deseja modelar a correlação espacial entre elas, pode-se calcular a estatística de dois pontos por meio do semivariograma cruzado, conforme (Deutsch e Journel, 1992, p. 40):

A função covariância pode ser negativa ou positiva, mas o problema é que ela depende fortemente das unidades de medida das variáveis aleatórias Z(x). Dessa forma, pode-se usar a função correlação, que é obtida dividindo-se a covariância (11) pelo produto dos desvios padrão da cauda e cabeça (Deutsch e Journel, 1992, p. 41):

Onde:

Considerações finais

Neste artigo, apresentamos como se deriva a função variograma a partir da estatística de dois pontos calculada sobre o diagrama de dispersão. Esta interpretação foi possível graças ao trabalho de Journel (1989, p. 6) que permitiu deduzir matematicamente a fórmula da função variograma, inclusive com a definição precisa do semivariograma, onde a divisão por dois vem de cos(45) elevado ao quadrado.

Lembrando que este artigo é derivado, com ajustes e pequenas modificações, do Capítulo 5: “Análise geoestatística” nosso livro: Estatística, Análise e Interpolação de dados geoespaciais (Yamamoto, 2020).

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Referências bibliográficas

Deutsch, C.V.; Journel, A.G. 1992. GSLIB – Geostatistical software library and user’s guide. New York, Oxford University Press. 340p.

Isaaks, E.H.; Srivastava, R.M. 1989, Applied geostatistics, New York, Oxford University Press. 561p.

Journel, A. G., 1989, Fundamentals of geostatistics in five lessons. Washington, American Geophysical Union. 40p.

Leuangthong, O.; Khan. K.D.; Deutsch, C.V. 2008. Solved problems in geostatistics. Hoboken, John Wiley & Sons. 208p.

Yamamoto, J.K. 2001. Análise geoestatística. In: Yamamoto, J.K. (org.) Avaliação e classificação de recursos minerais. São Paulo. EDUSP. P. 69-91.

Yamamoto, J.K. 2020. Estatística, análise e interpolação de dados geoespaciais. São Paulo, Gráfica Paulo’s. 308p.

Próximo artigo

Em continuidade, o próximo artigo irá apresentar como se calcula o mapa variograma, uma importante ferramenta utilizada na determinação das direções de anisotropia de um fenômeno espacial.

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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