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Distribuição lognormal

O que é a distribuição lognormal?

A distribuição lognormal representa um dos modelos teóricos de maior importância no estudo de depósitos minerais, pois ela explica a ocorrência de metais raros (Cu, W, Sn, Au, Ag etc.), diamante e urânio.

Na natureza, alguns fenômenos são tipicamente lognormais, como, por exemplo, a distribuição de terremotos em zonas tectonicamente ativas, onde há um grande número de terremotos de pequena magnitude, mas alguns altamente destrutivos.

Por definição, a distribuição lognormal é caracterizada pela propriedade que os logaritmos dos valores seguem uma distribuição normal (Koch e Link, 1970, p. 213).

Esta distribuição de frequências se caracteriza pela forte assimetria positiva, dada pela ocorrência de uma grande quantidade de valores baixos e uma pequena quantidade de valores altos a muito altos.

Em depósitos minerais, muitas vezes os valores altos ou muito altos não são completamente amostrados na pesquisa mineral e passam a ser conhecidos na fase da mineração.

Muitas vezes, esses valores altos são interpretados como valores anômalos e excluídos do conjunto de dados. Esse procedimento deve ser evitado na avaliação de recursos minerais, pois pode levar à subestimativa de parte do depósito mineral com teores significativos.

A distribuição lognormal é usada para modelar variáveis não negativas com assimetria positiva (Rossi e Deutsch, 2014, p. 14).

Função densidade de probabilidade lognormal

Levando em consideração a mudança de variável, a função densidade de probabilidade da distribuição lognormal pode ser desenvolvida a partir da seguinte relação (Agterberg, 1974, p. 194):

Onde    é a função densidade de probabilidade normal descrita pela equação:

Substituindo esta equação em (1), tem-se (Agterberg, 1974, p. 195):

Na equação (2), 

são respectivamente a média e o desvio padrão dos logaritmos de X. Novamente, µ e σ são os parâmetros da função densidade de probabilidade lognormal. Esses parâmetros controlam a forma da distribuição, ou seja, a localização e a assimetria da distribuição conforme o valor de σ. A Figura 5 mostra como o desvio padrão dos logaritmos afeta a assimetria.

Deve-se notar que nem todo o intervalo de variação foi representado na Figura 5B. A precisão das funções de densidade acumulada lognormal desenhadas pode ser conferida pela mediana igual a 1,649 para todas as distribuições (Figura 5B).

Figura 5: Distribuições lognormais para média dos logaritmos µ igual a 0,50 e
desvio padrão dos logaritmos s variável conforme legenda. Funções densidade de probabilidade (A)
e funções de densidade acumulada (B).

As médias, modas e variâncias correspondentes à variável aleatória X foram calculados com base nas seguintes equações (Yang, 2008, p. 124):

Esperança matemática:

Moda:

Mediana:

Variância:

Os resultados apresentados na Tabela 2 mostram claramente que a média se desloca à direita da moda, tanto quanto aumenta o CV ou o desvio padrão dos logaritmos de X.

Tabela 2: Parâmetros da distribuição lognormal (µ e σ) e
estatísticas correspondentes à variável aleatória X.

Retomando os dados da distribuição com assimetria positiva abordada no item anterior, a Figura 6 apresenta os ajustes feitos com o modelo lognormal.

Figura 6: Ajustes da função densidade de probabilidade lognormal (A) e
função de densidade acumulada aos dados da distribuição com assimetria positiva.

Essa figura mostra que o modelo lognormal se ajusta perfeitamente aos dados com assimetria positiva, confirmando tratar-se de uma distribuição lognormal.

No próximo artigo falaremos a respeito da distribuição uniforme, cujo modelo é importante para entender o processo de Monte Carlo utilizado nas simulações geoestatísticas.

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Referências:

Agterberg, F.P. 1974. Geomathematics: mathematical background and geo-science applications. Amsterdam, Elsevier Scientific Publishing Company. 596p.

Koch, G.S.; Link, R.F. 1970. Statistical analysis of geological data. New York, Dover Publications Inc. Vol. I. 375 p.; Vol. II. 438p.

Rossi, M.; Deutsch, C.V. 2014. Mineral resource estimation. Dordrecht, Springer. 332p.

Yang, X. 2008. Mathematical modelling for Earth Sciencesd. Edinburgh, Dunedin Academic Press. 310p.

Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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distribuição normal

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