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Correção da Suavização da Krigagem Ordinária Pós-Processamento no GKY

Correção da Suavização da Krigagem Ordinária Pós-Processamento no GKY

Vantagem da krigagem ordinária

A krigagem ordinária é um método geoestatístico de estimativa aceito como o padrão da indústria mineral, para fins de estimativa de recursos e reservas minerais. A krigagem ordinária proporciona estimativas com boa precisão local, bem como medidas de incerteza associadas, tais como: variância de krigagem e variância de interpolação.

Desvantagem da krigagem ordinária

Entretanto, a grande desvantagem está no efeito de suavização, que se caracteriza pela redução da variância, de tal modo que os baixos teores são superestimados, enquanto os altos teores são subestimados (Goovaerts, 1997, p. 182). Os algoritmos de interpolação, segundo Goovaerts (1989, p. 370), tendem a suavizar os detalhes locais da variação espacial do atributo, não sendo possível dessa forma detectar padrões de valores extremos do atributo, tais como zonas de alta permeabilidade ou zonas ricas em metal.

E então?

Quando se fala em redução da variância das estimativas, significa que essa é menor que a variância amostral. Assim, o variograma das estimativas também irá apresentar um patamar menor, proporcional à redução da variância. Em conclusão, as estimativas não apresentam precisão global, em termos da reprodução do histograma e do variograma. Este assunto já foi tratado em vários artigos do nosso blog. Por exemplo, veja este artigo, que caracteriza a suavização da krigagem. Mas este novo artigo apresenta uma solução muito mais simples e geral do problema da suavização.

 

A solução pela simulação estocástica

Segundo Journel (1989, p. 31), o processo de caracterização de reservatórios requer mapas que honrem a continuidade espacial e que proporcionem uma avaliação da incerteza espacial, conforme ilustrado na Figura 1. A simulação estocástica proporciona realizações, as quais são as entradas para a função de transferência, que tem como saída a distribuição resposta.

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As realizações individuais tendem a reproduzir tanto o histograma como o variograma, mas não apresentam precisão local. Além disso, o problema está em escolher uma realização para representação da distribuição e variabilidade espaciais do fenômeno em estudo, dentre as L imagens equiprováveis.

 

 

A solução pela correção da estimativa

A correção do efeito de suavização foi proposta por Yamamoto (2005), cujo algoritmo consiste de duas etapas: cálculo do erro de estimativa pelo processo de validação cruzada; determinação do erro de estimativa no ponto não amostrado e correção do valor estimado (Figura 2). Este algoritmo também pode ser aplicado para fazer a transformada reversa não enviesada da krigagem lognormal (Yamamoto, 2007) e krigagem multiGaussiana (Yamamoto e Landim, 2013, p. 86-93).

Figura 2: Ilustração do processo de correção da suavização, segundo algoritmo de Yamamoto (2005).

Segundo esta opção, pode-se obter tanto precisão local como precisão global em uma única imagem corrigida.

 

A nova solução pela transformação da distribuição de frequências

O quê?

Uma nova solução é proposta neste artigo. Trata-se em fazer o pós-processamento das estimativas da krigagem ordinária, com o objetivo de transformar as frequências estimadas em relação às frequências amostrais. Para isso, usa-se o programa GKY, ou seja, o mesmo programa indicado para compatibilização de campanhas de sondagens (diamantada versus circulação reversa e longo prazo versus curto prazo).

 

Como?

Se a precisão global está relacionada à reprodução da estatística amostral, nada mais lógico que fazer a transformação da distribuição de frequências das estimativas para a distribuição de frequências amostral, por meio do programa GKY. Como se verá a seguir, essa transformação é feita sem perder a informação espacial dos pontos de dados.

 

É necessário fazer a parametrização?

Para se proceder à essa transformação, não há necessidade de nenhuma parametrização, pois se faz a compatibilização de distribuições de frequências, como descrito no artigo referente ao programa GKY, que pode ser visto neste artigo. A única parametrização é feita para a krigagem ordinária, que é um procedimento que requer o número de pontos por quadrante, número mínimo de pontos, distância máxima e modelo de variograma. O GKY pode ser aplicado para os resultados da krigagem ordinária obtidos em qualquer programa de computador.

 

Exemplo de correção da suavização

Para demonstração do processo de correção do efeito de suavização, considere-se o conjunto de dados denominado simetrica100.csv, conforme o mapa de localização de pontos da Figura 3.

Figura 3: Mapa de localização dos pontos de dados (simetrica100.csv).

A distribuição de frequências amostral se encontra na Figura 4, onde se pode verificar que a distribuição é aproximadamente normal, tanto pela forma do histograma como da curva acumulativa em escala de probabilidade aritmética. As estatísticas amostrais estão listadas na Tabela 1.

Tabela 1: Estatísticas descritivas da distribuição de frequências do conjunto de dados (simetrica100.csv).

 

Figura 4: Histograma e curva acumulativa do conjunto de dados (simetrica100.csv).

 

Para a krigagem ordinária, foi usado um modelo de variograma omnidirecional (Figura 5).

Figura 5: Modelo de variograma omnidirecional (simetrica100.csv).

Fórmula do variograma esférico

O modelo de variograma esférico pode ser descrito pela seguinte expressão:

Resultados

A localização dos vizinhos próximos foi feita selecionando um ponto por quadrante, sendo no mínimo três quadrantes com dados e distância máxima de 23,33. Uma distância máxima maior que a amplitude não é problema, pois a krigagem filtra os pontos de dados situados além da amplitude. Os resultados obtidos foram pós-processados no GKY, conforme mostra a Figura 6.

Figura 6: Janela do GKY mostrando os resultados do pós-processamento.

Em resumo, tem-se a distribuição amostral (em vermelho) e a distribuição das estimativas (em verde). O objetivo é fazer a transformação da distribuição das estimativas para a distribuição amostral, cujo resultado é mostrado em azul, onde se verifica uma perfeita aderência entre as distribuições resultante e amostral. Os demais gráficos à direita da janela (Figura 6) são: PP-plot, QQ-plot e diagrama de dispersão, que mostram um ajuste muito bom entre os valores transformados e os de referência (dados amostrais).

 

Comparação: antes e depois

A Figura 7 representa as imagens antes e depois do processamento no GKY. Uma rápida observação nas imagens mostra que a correção da suavização age diminuindo os valores baixos e aumentando os valores altos. Observe-se que o efeito de suavização da krigagem ordinária se caracteriza pela superestimativa dos valores baixos e subestimativa dos valores altos. Assim, a correção proporcionada pelo GKY está correta. Além disso, essa correção é feita respeitando a localização dos valores estimados. Ou seja, não ocorre ao acaso, como na simulação estocástica.

As estatísticas das estimativas corrigidas estão listadas na Tabela 2.

Figura 7: Comparação das imagens da krigagem ordinária suavizada (A) e após correção do efeito de suavização no GKY (B).

 

Tabela 2: Estatísticas descritivas dos resultados da krigagem ordinária e após correção do efeito de suavização no GKY.

Como se pode verificar nesta tabela, a correção da suavização foi efetiva no sentido de nivelar as estatísticas em relação às estatísticas amostrais, destacando-se a correção do desvio padrão de 3,449 para 4,631.

Finalizando o processo

Agora, deve-se conferir a reprodução do variograma, conforme a Figura 8. Como se pode verificar, a reprodução do variograma é boa, mas não é 100% perfeita. Evidentemente, essa reprodução depende também da quantidade e distribuição dos pontos. Aqui, há apenas 100 pontos amostrais, enquanto a malha regular tem 571 pontos distribuídos regularmente. Yamamoto e Landim (2013, p. 49) demonstraram que o variograma depende da quantidade e distribuição dos pontos de dados na área de estudo.

Na verdade, a maior quantidade de pontos aumenta a continuidade do variograma, que ocorre com a diminuição do patamar, como se verifica na Figura 8.

Figura 8: Comparação do variograma experimental (asterisco) com o variograma das estimativas da krigagem ordinária (círculo vazio) e o variograma das estimativas corrigidas (círculo cheio).

 

Último passo

Finalmente, é importante verificar a dispersão entre os valores antes e após o processamento no GKY (Figura 9). Pode-se verificar uma boa relação linear entre eles. Esse diagrama está contemplado nos resultados da janela mostrada na Figura 6, mas aqui é mostrado com maior detalhe. Deve-se ressaltar que a transformação precisa tão linear quanto possível, pois evita a geração de artefatos na imagem pós-processada.

 

Figura 9: Diagrama de dispersão e reta de regressão entre os teores antes e após a transformação.

Considerações finais

Este artigo demonstrou mais uma aplicação do programa GKY que, além de fazer a compatibilização de campanhas distintas de sondagens, permite a correção do efeito de suavização da krigagem ordinária. O GKY é um programa inédito e 100% brasileiro, não existindo ainda programa similar. A versão demo acompanha os dados empregados neste artigo, mas não permitirá fazer a gravação dos resultados, mas apenas a visualização como mostra a janela da Figura 6. A Geokrigagem proporciona uma demonstração gratuita de uso do programa. Basta enviar os arquivos de dados amostrais e das estimativas (modelo de blocos) no formato texto ou Excel CSV. Vai continuar usando a krigagem ordinária com suavização?

 

Próximo artigo

O próximo artigo irá apresentar uma série de aplicações com base em conjuntos de dados distintos disponíveis na literatura internacional.

Referências Bibliográficas

Goovaerts, P. 1997. Geostatistics for natural resources evaluation. New York, Oxford University Press. 483p.

Journel, A.G. 1989. Fundamentals of geostatistics in five lessons. Washington, 28th International Geological Congress. 40p.

Yamamoto, J.K. 2005. Correcting the smoothing effect of ordinary kriging estimates. Math. Geol., v. 37, p. 69-94.

Yamamoto, J.K. 2007. On unbiased back transform of lognormal kriging estimates. Comput. Geosci., v. 11, p. 219-234.

Yamamoto, J.K.; Landim, P.M.B. 2013. Geoestatística: conceitos e aplicações. São Paulo, Oficina de Textos. 214p.

 

 

Fazemos a correção do seu modelo de blocos no GKY, a título de demonstração de uso. Basta enviar os dados amostrais e os resultados da krigagem ordinária.
Garantimos a confidencialidade dos dados e não divulgaremos os resultados em nenhuma mídia.

 

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Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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