Análise composicional - modelos lineares composicionais
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Análise Composicional: Modelos Lineares Composicionais

Modelos Lineares Composicionais

Introdução

Nesse artigo vamos falar de modelos lineares com variáveis composicionais. O tema é bem conhecido no caso clássico e uma breve revisão será feita.

 

Regressão Linear Clássica (caso univariado)

A regressão linear modela a dependência de uma variável Y com respeito a outra variável X através da equação seguinte:

Y é chamada variável dependente e X variável independente ou variável explicativa.

Yi e Xi são as amostras respectivas.

 

Estimativa de máxima verossimilhança

A estimativa de máxima verossimilhança é dada por:

a é o valor médio de Y quando X=0

b é a inclinação, é a taxa de variação de Y em função de X

 

Uma vez obtidos as estimativas de a e b, pode-se calcular a estimativa de Y:

A diferença entre o valor observado e o predito denomina-se resíduo ri .

A variância dos resíduos é estimada por:

 

Regressão Linear Clássica (caso multivariado)

Nesse caso Y,  X, a e  ε são vetores, é uma matriz:

 

 

Regressão Linear Composicional

A extensão a um modelo linear composicional será feita no caso de Y ser uma variável e X uma composição. O modelo de regressão é dado pela fórmula:

Para poder resolvê-lo, será introduzida uma nova transformação.

 

Transformação Isométrica do Logaritmo da Razão (ilr)

A transformação ilr provê uma identificação entre o espaço euclidiano RD-1 e o espaço simplex SD ao representar uma composição em função de uma base ortonormal de SD.

 

Esta equação é resolvida no espaço euclidiano como uma regressão múltipla, utilizando a transformação inversa da ilrsobre os coeficientes encontrados chega-se aos coeficientes da regressão composicional.

Exemplo : Regressão composicional da variável Au na subcomposição (As, Sb, Nb)

Considere a transformação acomp da subcomposição da amostra apresentada anteriormente (visualização parcial)

Tabela 1

E agora, a transformação ilr da mesma composição, observe que o resultado é em R2 (visualização parcial):

 

Tabela 2

 

Os valores dos coeficientes e do intercept em R3 são obtidos utilizando a transformação inversa da ilr. A predição de novos valores ou dos valores observados é obtida diretamente pela função predict. Observe no gráfico dispersograma que há um outlier na amostra mas sua presença não perturbou os demais ajustes. A reta corresponde à coincidência entre o valor observado e o valor predito. Por se tratar de uma área pouco mineralizada, há muitos valores repetidos para os teores de Au, representados no eixo horizontal.

exemplo de modelo linear composicional

 

Dispersograma dos valores observados e preditos pelo modelo Au(ppm)

 

Considerações finais

Neste artigo, iniciamos a apresentação das famílias mais importantes de aplicações da abordagem composicional com Modelos Lineares de Regressão. No próximo artigo veremos um método muito importante – A Análise de Componentes Principais Composicional.

 

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Prof. Dr. Luis Braga

Escrito por Prof. Dr. Luis Braga

Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1973), mestrado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1977) e doutorado em Engenharia de Sistemas e Computação pela Coordenação de Programas de Pós-Graduação em Engenharia (1984) e Especialização em Comércio Eletrônico pela Fundação Getúlio Vargas (2001).

Atualmente é professor no Departamento de Geologia da UFRJ, atuando principalmente nos seguintes temas: geoestatística, mineração de dados e ensino a distancia. É ainda avaliador do Sistema SINAES e o diretor do Projeto Observatório da Universidade. Membro vitalício da International Association for Mathematical Geosciences (IAMG) (Currículo completo aqui)

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