O Espaço Vetorial das Composições
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Análise Composicional – O Espaço Vetorial das Composições

O Espaço Vetorial das Composições

Introdução

Nesta parte, vamos ver como as composições integram uma estrutura de espaço vetorial, base para algumas aplicações importantes, como a estatística multivariada. Embora pareça óbvio, é bom lembrar que, no espaço simplex – que é o espaço das composições -, não contamos mais com as propriedades do espaço euclidiano, então é preciso reinventar a roda.

Você pode se interessar por:

Introdução à Análise Composicional

Estatísticas Descritivas Composicionais

Operações com Composições

Perturbação ou soma

 

Um exemplo pode ser encontrado em Boogaart e Tolosana-Delgado (2013) na conversão de proporções de dados nutricionais – gordura, carboidratos e proteínas (g) em proporções de energia(kJ/g). Para uma amostra x com os nutrientes x= [7 10 13] e para um conteúdo energético proporcional de cada componente y= [37 17 17], aplicando-se a operação, obtém-se:

que são as proporções energéticas de cada componente da amostra.

Potenciação ou Produto por uma constante

A potenciação é um produto externo no sentido que a álgebra linear atribui, portanto, tem as propriedades de associatividade e distributividade.

 é um espaço vetorial.

 

Produto Interno (de Aitchinson)

gm é a média geométrica.

 

Elemento inverso

 

Subtração

 

Norma

 

Distância

 

Variância generalizada ou total

 

Matriz de variâncias e covariâncias das composições transformadas clr

covar

Exemplo

No artigo sobre estatísticas descritivas composicionais, apresentamos essa matriz para a amostra considerada.

Uma aplicação das operações de perturbação e potenciação vistas acima é a padronização de dados composicionais via a fórmula seguinte:

Computacionalmente obtemos, para as 10 primeiras amostras, os valores padronizados:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Prof. Dr. Luis Braga

Escrito por Prof. Dr. Luis Braga

Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1973), mestrado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1977) e doutorado em Engenharia de Sistemas e Computação pela Coordenação de Programas de Pós-Graduação em Engenharia (1984) e Especialização em Comércio Eletrônico pela Fundação Getúlio Vargas (2001).

Atualmente é professor no Departamento de Geologia da UFRJ, atuando principalmente nos seguintes temas: geoestatística, mineração de dados e ensino a distancia. É ainda avaliador do Sistema SINAES e o diretor do Projeto Observatório da Universidade. Membro vitalício da International Association for Mathematical Geosciences (IAMG) (Currículo completo aqui)

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