suavização da krigagem ordinária
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Suavização da Krigagem Ordinária

A krigagem ordinária

Krigagem é o nome genérico dado a uma família de estimadores baseados na minimização da variância do erro. Dentre eles, a krigagem ordinária é o mais popular devido à sua simplicidade de aplicação, bem como pela confiabilidade e exatidão de suas estimativas e, por isso, é o método padrão aceito na indústria mineral. Entretanto, esse método apresenta um problema associado à redução da variância, devido à suavização da krigagem ordinária.

A minimização da variância do erro envolve a suavização das dispersões reais (Journel e Huijbregts, 1978, p. 493). Na verdade, todos os algoritmos de interpolação tendem a suavizar a variabilidade espacial do atributo (Goovaerts, 1997, p. 370). A suavização se caracteriza pela subestimativa de valores altos e superestimativa de valores baixos (Goovaerts, 1997, p. 370). Além disso, segundo esse autor, a suavização não é uniforme, pois é zero nos pontos amostrais e aumentando à medida que se distancia dos pontos de dados.

A krigagem ordinária proporciona precisão local, no sentido da correlação dos valores estimados com os valores amostrais utilizados no processo de estimativa, mas não a precisão global. A precisão global se caracteriza pela reprodução do histograma e do variograma.

A suavização da krigagem ordinária

Nesta série de artigo, vamos abordar a questão da suavização da krigagem ordinária, tanto na krigagem linear como na krigagem não linear, esta última baseada na transformação não linear dos dados. A krigagem não linear é usada para evitar o problema causado por dados com distribuição lognormal, que é caracterizada por uma grande quantidade de valores baixos e poucos valores altos a muito altos. Essa distribuição explica a ocorrência de metais raros, como, por exemplo, o ouro.

Para ilustrar o problema, seja uma amostra extraída por amostragem aleatória simples de um conjunto completo, conforme a distribuição de frequências e suas estatísticas descritivas (Figura 1).

Figura 1: Distribuição de frequências da variável apresentando uma distribuição lognormal.

O mapa de localização dos pontos de dados juntamente com a representação dos teores se encontra na Figura 2.

Figura 2: Mapa de localização dos pontos de dados e distribuição dos teores.

O modelo de variograma omnidirecional está ilustrado na Figura 3.

Figura 3: Modelo de variograma omnidirecional para os dados de teores.

Com esse modelo, procedeu-se à krigagem ordinária, de acordo com a imagem resultante apresentada na Figura 4.

Figura 4: Distribuição espacial de teores resultante da krigagem ordinária.

Figura 5: Comparação da distribuição amostral (cruz vermelha)
com as estimativas da krigagem ordinária (círculo verde).

Figura 6: Variograma omnidirecional experimental (asterisco),
o modelo de variograma (traço cheio) e variograma
omnidirecional das estimativas por krigagem ordinária (círculos vazados).

As comparações

Comparando-se os dados originais (Figura 2) com o mapa imagem da krigagem ordinária (Figura 4), verifica-se que há uma boa correlação entre os teores amostrais e calculados. A krigagem produz estimativas suavizadas com boa continuidade espacial. Entretanto, o grande problema é que as estimativas suavizadas não reproduzem o histograma (Figura 5) e nem o variograma (Figura 6).

O efeito de suavização surge como um sério problema na representação de atributos com extrema variabilidade, tais como zonas de alta permeabilidade ou zonas ricas em metal (Goovaerts, 1997, p. 370). Além disso, outro problema se refere à possibilidade de se usar as estimativas (Figura 4) para fazer inferências a respeito do fenômeno espacial desconhecido (população).

Se a amostra coletada for representativa ela pode ser usada para fins de inferência espacial. Mas, o requisito importante para isso é que as estimativas reproduzam as características amostrais. Na literatura especializada, precisão global é o termo usado para se referir à reprodução do histograma e do variograma, enquanto precisão local é medida pela correlação entre os pontos amostrais e as estimativas krigadas.

Nesta série de artigo, vamos tratar da questão da suavização da krigagem ordinária e as soluções propostas para a sua solução.

Referências:

Goovaerts, P. 1997. Geostatistics for natural resources evaluation. New York, Oxford University Press. 483p.

Journel, A.G.; Huibregts, Ch.J. 1978. Mining geostatistics. London, Academic Press. 600p.

Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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