Modelos lineares composicionais

Introdução

Nesse artigo vamos falar de modelos lineares com variáveis composicionais. O tema é bem conhecido no caso clássico e uma breve revisão será feita.

Regressão Linear Clássica (caso univariado)

A regressão linear modela a dependência de uma variável Y com respeito a outra variável X através da equação seguinte:

Y é chamada variável dependente e X variável independente ou variável explicativa.

Y_i e X_i são as amostras respectivas.

Estimativa de máxima verossimilhança

A estimativa de máxima verossimilhança é dada por:

a é o valor médio de Y quando X=0

b é a inclinação, é a taxa de variação de Y em função de X

Uma vez obtidos as estimativas de a e b, pode-se calcular a estimativa de Y:

A diferença entre o valor observado e o predito denomina-se resíduo r_{i .}

A variância dos resíduos é estimada por:

Regressão Linear Clássica (caso multivariado)

Nesse caso Y, X, a e ε são vetores, B é uma matriz:

Regressão Linear Composicional

A extensão a um modelo linear composicional será feita no caso de Y ser uma variável e X uma composição. O modelo de regressão é dado pela fórmula:

Para poder resolvê-lo, será introduzida uma nova transformação.

Transformação Isométrica do Logaritmo da Razão (ilr)

A transformação ilr provê uma identificação entre o espaço euclidiano R^D-1 e o espaço simplex S^D ao representar uma composição em função de uma base ortonormal de S^D.

Esta equação é resolvida no espaço euclidiano como uma regressão múltipla, utilizando a transformação inversa da ilrsobre os coeficientes encontrados chega-se aos coeficientes da regressão composicional.

Exemplo : Regressão composicional da variável Au na subcomposição (As, Sb, Nb)

Considere a transformação acomp da subcomposição da amostra apresentada anteriormente (visualização parcial)

E agora, a transformação ilr da mesma composição, observe que o resultado é em R² (visualização parcial):

Os valores dos coeficientes e do intercept em R³ são obtidos utilizando a transformação inversa da ilr. A predição de novos valores ou dos valores observados é obtida diretamente pela função predict. Observe no gráfico dispersograma que há um outlier na amostra mas sua presença não perturbou os demais ajustes. A reta corresponde à coincidência entre o valor observado e o valor predito. Por se tratar de uma área pouco mineralizada, há muitos valores repetidos para os teores de Au, representados no eixo horizontal.

Dispersograma dos valores observados e preditos pelo modelo Au(ppm)

Considerações finais

Neste artigo, iniciamos a apresentação das famílias mais importantes de aplicações da abordagem composicional com Modelos Lineares de Regressão. No próximo artigo veremos um método muito importante – A Análise de Componentes Principais Composicional.

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