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Krigagem Ordinária: método de amplo uso

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O que é a Krigagem Ordinária?

Hoje falaremos do método de estimativa geoestatística mais utilizado atualmente: a Krigagem Ordinária.  Este método é aceito como o melhor método de estimativa linear não enviesado e pode ser aplicado em diversos campos, como mineração, geotecnia, hidrogeologia, agricultura de precisão, recursos florestais etc.

A Krigagem Ordinária é muito utilizada

O amplo uso da krigagem ordinária se deve à simplicidade do método (média ponderada), que usa a informação estrutural fornecida pelo modelo de variograma e também porque proporciona a incerteza associada à estimativa, por meio da variância de krigagem.

Calculando o estimador

O estimador da krigagem ordinária é baseado na fórmula da média ponderada, onde os ponderadores dependem da informação estrutural fornecida pelo variograma. Esta é a principal diferença em relação ao outros métodos de estimativa como, por exemplo, o inverso da distância. O valor da variável de interesse em um ponto não amostrado (xo) é calculado como combinação linear dos pontos de dados vizinhos (Z(xi), i=1,n), conforme segue:

Os pesos da krigagem ordinária são calculados impondo-se duas condições de restrição. A primeira impõe que em média a diferença entre o valor calculado e real seja igual a zero:

Desenvolvendo esta expressão, tem-se a condição de não viés:

A segunda condição de restrição impõe a minimização da variância do erro:

A minimização da variância do erro, sujeita à condição de não viés resulta no sistema de equações de krigagem, conforme Yamamoto e Landim (2013, p. 69-70). Os ponderadores da krigagem ordinária são calculados a partir da resolução desse sistema de equações.

Os elementos são dados em termos de covariâncias e não em termos da função variograma, com a qual estamos acostumados. Geralmente, se obtém a função variograma, que pode ser transformada em função covariância usando a relação:

A krigagem ordinária graficamente

Ou, graficamente conforme ilustra a Figura 1. Ao contrário da função variograma, a função covariância é alta para distâncias pequenas, ou seja, dados próximos estão correlacionados, e baixa para distâncias grandes quando a correlação desaparece.

Figura 1: Relação entre a função variograma e a função covariância.

Para ilustrar o procedimento da krigagem ordinária, vamos considerar uma amostra composta por 100 pontos de dados, conforme o mapa de localização da Figura 2.

Figura 2: Mapa de localização dos pontos de dados.

Antes de prosseguir, seria interessante ver a distribuição de frequências dos valores da variável de interesse, que simula a distribuição dos teores de ferro em um nível do depósito sintético (Figura 3).

Figura 3: Distribuição de frequências simples e acumulada da variável simulada (ferro).

Como se pode observar nesta figura, a distribuição de frequências apresenta uma assimetria negativa, que é característica de ferro contido em hematitas ou magnetitas.

Aplicando em um variograma

Para a krigagem ordinária, precisamos do modelo de variograma, que é o mesmo postado anteriormente. Esse modelo de variograma, previamente calculado, encontra-se apresentado na Figura 4.

Figura 4: Modelo de correlação espacial da variável simulada (ferro).

Conforme explicado em artigo anterior, o estudo geoestatístico tem por objetivo determinar a distribuição e variabilidade espaciais da variável de interesse, com base na correlação espacial determinada pelo modelo de variograma.

Esse objetivo pode ser alcançado calculando-se um mapa de valores estimados e das incertezas associadas. Trata-se, portanto, de obter os valores da variável de interesse em uma malha regular, cujos nós devem ser estimados por meio da krigagem ordinária.

Assim, como qualquer procedimento de interpolação, a krigagem ordinária deve ser feita dentro do domínio dos dados, que no caso de dados em 2D é definido pela fronteira convexa. Para os dados em estudo, a fronteira convexa que é o polígono convexo de área mínima que engloba os pontos de dados pode ser vista na Figura 5.

Figura 5: Fronteira convexa dentro da qual será estimada
a malha regular por meio da krigagem ordinária.

O resultado pode ser visto na Figura 6, onde fica evidente a direção de maior continuidade espacial no azimute 145º.

Figura 6: Krigagem ordinária da variável simulada ferro.

Obtendo um mapa da incerteza

O sucesso da krigagem se deve à possibilidade de se obter também um mapa da incerteza. A variância de krigagem ou sua raiz quadrada o desvio padrão de krigagem é a incerteza associada à estimativa, conforme se pode ver na Figura 7.

Figura 7: Mapa do desvio padrão de krigagem, que é a incerteza
associada à estimativa da variável simulada ferro por krigagem ordinária.

A questão da variância de krigagem como medida de incerteza será tratada em outro artigo futuramente.

Obtendo a estimativa

Continuando, vamos ver passo a passo como se obtém a estimativa por krigagem ordinária de um ponto não amostrado. Considere-se o ponto localizado nas coordenadas (33, 33). Os quatro vizinhos mais próximos selecionados pelo método dos quadrantes em relação ao ponto a ser estimado estão ilustrados na Figura 8.

O sistema de equações de krigagem pode ser organizado a partir destes pontos (localização no plano) e o modelo de variograma com anisotropia mista (Figura 4). Esse sistema é apresentado na Figura 9.

Figura 8: Localização dos quatro pontos de dados mais próximos
selecionados pelo método dos quadrantes.

Figura 9: Sistema de equações de krigagem ordinária para
estimativa do ponto na localização (33, 33).

Veja os resultados da krigagem ordinária, após a resolução do sistema de equações de krigagem (Figura 10).

Figura 10: Resultados da krigagem ordinária no ponto localizado nas coordenadas (33, 33).

Referências

Yamamoto, J.K.; Landim, P.M.B. 2013. Geoestatística: conceitos e aplicações. São Paulo, Oficina de Textos. 215p.

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Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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