No artigo anterior, mostramos como a correção direta do efeito de suavização da krigagem ordinária se processa para dados apresentando assimetria negativa, que se caracteriza por um baixo coeficiente de variação. A correção direta para esse tipo de distribuição é efetiva e pode ser usada como foi demonstrado naquele artigo.
Neste artigo, vamos tratar da questão da correção direta para distribuições simétricas. A metodologia da correção direta baseada em Yamamoto (2005) está também descrita em detalhe em Yamamoto e Landim (2013). Distribuições simétricas são especialmente convenientes para fins de análise e estimativa geoestatísticas. Observe-se que as transformações não lineares como a logarítmica e a Gaussiana procuram gerar distribuições simétricas ou aproximadamente simétricas. No caso da transformação Gaussiana, a distribuição resultante será sempre simétrica com média zero e variância unitária, não importando a forma da distribuição inicial.
Para essa demonstração, considere-se uma amostra composta por 100 pontos de dados selecionada por amostragem aleatória estratificada de uma população com 2500 pontos distribuídos em uma malha de 50 por 50 nós, como ilustra o mapa de localização da Figura 1.
A distribuição de frequências da Figura 2 mostra que a distribuição de frequências pode ser considerada normal, pois os pontos da curva acumulativa se alinham em torno de uma reta. Entretanto, o histograma não se apresenta perfeitamente simétrica, embora a amostra tenha sido extraída de uma população normal.
A análise geoestatística é feita com o objetivo de determinar o modelo de correlação espacial, por meio do variograma, que é a ferramenta que permite descrever a variabilidade espacial dos dados. Para descobrir as direções de possível anisotropia foram confeccionados os variogramas direcionais e o mapa variograma (Figura 3).
O mapa variograma não mostra claramente a presença de anisotropia, o que pode ser confirmada pelos variogramas direcionais. Assim, nestes casos pode-se optar pelo variograma omnidirecional, que é calculado considerando uma tolerância angular de 90º para cada lado e largura máxima muito grande (Figura 4).
O próximo passo é a krigagem ordinária, com base no modelo de correlação espacial obtido (Figura 4). A krigagem ordinária proporciona estimativas a partir da minimização da variância do erro e, por isso, elas são suavizadas. As estimativas são feitas localmente, ou seja, a partir dos pontos de dados vizinhos escolhidos por um critério, como, por exemplo, o critério dos quadrantes (Figura 5).
Para essa demonstração, foram selecionados dois pontos por quadrante para fins da krigagem ordinária e pós-processamento para correção do efeito de suavização (Figura 6). Como nos casos anteriores, a correção da suavização se manifesta claramente, onde os valores altos subestimados são corrigidos para cima e os valores baixos superestimados são movidos para baixo. As estatísticas descritivas das estimativas em comparação com as amostrais são apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1: Estatísticas descritivas para os valores amostrais e krigagens.
Estatística | Amostra | Krigagem | Krigagem corrigida |
No. Dados | 100 | 571 | 571 |
Média | 15,374 | 15,271 | 15,374 |
Desvio padrão | 4,549 | 3,168 | 4,525 |
Coef. de variação | 0,296 | 0,207 | 0,294 |
Máximo | 26,852 | 23,639 | 26,702 |
Quartil superior | 18,117 | 17,580 | 18,588 |
Mediana | 15,618 | 15,206 |
15,692 |
Quartil inferior | 12,476 | 13,219 | 12,349 |
Mínimo | 4,798 | 6,809 | 4,798 |
Ao examinarmos esta tabela, verifica-se como a correção é efetiva permitindo recompor a variabilidade original, pois passa-se de um desvio padrão igual a 3,168 para 4,525, em relação ao desvio padrão amostral igual a 4.549, ou seja, a krigagem corrigida recompõe 99,5% do desvio padrão amostral. Consequentemente, a correção recupera o coeficiente de variação para um valor muito próximo ao amostral.
Agora, a comparação entre as distribuições de frequências pode ser feita graficamente (Figura 7), ou seja, verificação da reprodução do histograma (estatística de um ponto). Como se pode observar nesta figura, a krigagem corrigida proporciona uma distribuição de frequências muito próxima da amostral. Apesar da cauda inferior não estar perfeitamente reproduzida em relação à distribuição amostral, pode-se considerar a distribuição da krigagem corrigida para fins de inferência estatística. Por outro lado, a krigagem ordinária, sem correção, mostra claramente a redução da variância.
Para verificação da precisão global, resta verificar a reprodução do modelo de variograma, pois estamos interessados não apenas na distribuição espacial da variável de interesse, como também na sua variabilidade espacial. Assim, pode-se calcular os variogramas experimentais na malha regular krigada. Como neste caso, optou-se por um variograma omnidirecional, os variogramas direcionais calculados a partir da malha regular são usados para determinar um variograma médio, o que equivale em tese ao omnidirecional (Figura 8).
Nesta figura, pode-se observar que a reprodução do modelo de correlação espacial é efetiva, quando comparada com os valores da krigagem ordinária. Essa reprodução é melhor nos 2/3 da amplitude, que é a parte importante em termos de correlação espacial. Assim, para dados com distribuição simétrica de frequências, a metodologia de correção direta pode ser considerada para reprodução da distribuição e variabilidade espaciais da variável de interesse e, nesse sentido, o modelo obtido pode ser usado para fazer a inferência estatística. Assim, temos uma única imagem que apresenta tanto precisão local, como também a precisão global, em termos da reprodução do histograma e do modelo de variograma.
Nos próximos artigos, trataremos da questão da transformação não linear e sua transformada reversa não enviesada. Serão abordadas as transformações: logarítmica e a Gaussiana.
Referências bibliográficas
Harbaugh, J.W.; Doveton, J.H. Davis, J.C. 1977. Probability methods in oil exploration. New York, John Wiley & Sons. 269p.
Yamamoto, J.K. 2005. Correcting the smoothing effect of ordinary kriging estimates. Mathematical Geology, v. 37, n.1, p. 69-94, 2005.
Yamamoto, J.K.; Landim, P.M.B. 2013. Geoestatística: conceitos e aplicações. São Paulo, Oficina de Textos. 214p.