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Simulação Gaussiana Sequencial

Os resultados da Simulação Gaussiana Sequencial

No artigo anterior, vimos o que é o efeito de suavização da krigagem ordinária. Neste, vamos ver uma solução baseada na Simulação Gaussiana Sequencial, que é um dos métodos mais usados em geoestatística, devido à sua facilidade de uso e de implementação.

A simulação estocástica foi a solução adotada pela geoestatística para resolver o problema da suavização da krigagem (Olea, 1999, p. 141). Entretanto, a simulação também não é a solução perfeita (Olea, 1999, p. 141), ou seja, se ganha em precisão global em detrimento da precisão local. Na realidade, as realizações não estão isentas de erros na reprodução da realidade, inclusive em média os erros são maiores que da krigagem (Olea, 1999, p. 141). A simulação estocástica também foi a solução adotada pelos geoestatísticos para modelar a incerteza associada à estimativa (Deutsch, 2011, p. 5-1). Isso porque que a variância de krigagem foi reconhecida apenas como um índice de configuração espacial dos pontos vizinhos próximos (Journel & Rossi, 1989, p. 783).

Este artigo não pretende fazer uma revisão da teoria da simulação Gaussiana sequencial, mas somente demonstrar os resultados obtidos por meio desta técnica e verificar a precisão global, em termos da reprodução do histograma e do variograma. Para detalhes da técnica, convidamos o leitor a consultar Yamamoto e Landim (2013, p. 149-159).

Nas figuras:

Para esse artigo, vamos considerar o mesmo conjunto de dados utilizado no artigo anterior, ou seja, uma amostra com 64 pontos apresentando uma distribuição lognormal. O primeiro passo consiste na transformação Gaussiana dos dados originais (Figura 1).

Processo de transformada dos dados originais (ZLOG) para os escores da distribuição normal (transformada Gaussiana).

Em seguida, faz-se o cálculo e modelagem de variogramas experimentais dos dados transformados (Figura 2)

Figura 2: Modelo de variograma dos dados transformados para escores normais.

Antes de prosseguir com a simulação Gaussiana sequencial, temos que testar a hipótese de biGaussianidade dos dados, cuja base teórica se encontra em detalhe em Yamamoto e Landim (2013, p. 87-88). O teste é feito visualmente comparando-se os variogramas experimentais e os teóricos obtidos para determinados percentis da distribuição. Nesse caso, consideramos os três quartis da distribuição (Figura 3).

                                                      

Figura 3: Teste de biGaussianidade dos dados para os três quartis da distribuição.

Como se trata de variáveis indicadoras, o variograma da mediana é sempre o mais representativo, pois terá sempre em seu cálculo o maior número de pares de pontos. Como se pode verificar na Figura 3, os variogramas experimental e teórico apresentam boa aderência. Cabe ressaltar que quando a hipótese de biGaussianidade dos dados não pode ser comprovada, a krigagem indicadora sequencial é a melhor solução. Evidentemente, sempre o melhor ajuste será observado para o variograma da variável indicadora da mediana. Como o resultado do teste foi positivo, procede-se com as realizações da simulação Gaussiana sequencial. Geralmente, o número de realizações deve ser superior a 100. As realizações são equiprováveis. Algumas dessas realizações estão ilustradas na Figura 4.

O histograma

Para verificação da reprodução do histograma, vamos usar a curva acumulativa, pois permite comparar graficamente os resultados obtidos, bem como usar os diagramas de probabilidade-probabilidade (P-P), como se apresenta na Figura 5. Como se pode observar, a reprodução do histograma de uma realização aleatória da simulação Gaussiana sequencial é bem superior quando comparada à krigagem ordinária suavizada.

A Figura 6 mostra os variogramas obtidos para uma realização escolhida aleatoriamente, onde se pode verificar a razoável reprodução do variograma amostral, tanto na escala Gaussiana como na escala original dos dados.

                                                                 

Figura 4: Realizações da simulação Gaussiana sequencial, após transformação reversa para a escala original dos dados.

                                                      

 

Figura 5: Comparação entre as distribuições de dados originais (cruz vermelha),
uma realização escolhida aleatoriamente (quadrado azul) e a krigagem ordinária (círculo verde).

                                                       

Figura 6: Comparação de variograma de uma realização escolhida aleatoriamente com o respectivo variograma amostral para os escores normais e após a transformação reversa para a escala original dos dados.

Em conclusão, as realizações da simulação Gaussiana sequencial apresentam precisão global em termos da reprodução do histograma e do variograma. Observe-se que estamos trabalhando com uma amostra que apresenta distribuição lognormal. Assim, nos próximos artigos vamos tratar de técnicas que são indicadas para tratar dados com distribuição lognormal, tais como: krigagem lognormal e krigagem multiGaussiana.

Referências:

Deutsch, C.V., 2011, Guide to Best Practice in Geostatistics, Version 1.0, Centre for Computational Geostatistics, University of Alberta, Edmonton, Canada, 200 pages.

Journel, A.G.; Rossi, M.E. 1989. When do we need a trend model in kriging? Math. Geol., v. 21, p. 715-739.

Olea, R.A. 1999. Geostatistics of engineers and earth scientists. Boston, Kluwer Academic Publishers. 303p.

Yamamoto, J.K.; Landim, P.M.B. 2013. Geoestatística: conceitos e aplicações. São Paulo, Oficina de Textos. 214p.

Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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