em , ,

Método Iterativo de Gauss Seidel para Resolução de Sistemas Lineares – PARTE 3

Matriz Estritamente Diagonal Dominante

Nos artigos anteriores, o método iterativo de Gauss Seidel foi exemplificado com um sistema de equações que apresentava convergência para a solução dentro de uma tolerância especificada. Entretanto, nem sempre isso é possível, pois depende da matriz dos coeficientes A ser estritamente diagonal dominante. Define-se uma matriz estritamente diagonal dominante por linhas, se (Quarteroni et al. 2007, p. 262):

(1)

Como se pode verificar, o elemento da diagonal principal em módulo deve ser maior que a soma dos demais elementos da linha.

Por exemplo, seja a matriz dos coeficientes (Quarteroni et al. 2007, p. 132):

(2)

Pode-se observar que esta matriz não é estritamente diagonal dominante, pois os elementos da diagonal são menores que a soma dos demais elementos da linha. Um algoritmo bem simples para verificação desta condição se encontra no Script GK6.R, que recebe uma matriz e retorna FALSO ou VERDADEIRO.

Este script foi baseado em código previamente publicado e disponível na Web. Esta é uma das vantagens da linguagem R, qual seja, a grande disponibilidade de códigos prontos e confiáveis.

Um exemplo de um sistema de equações lineares, cuja matriz dos coeficientes não é estritamente diagonal dominante, é aquele proposto por Dunn e Parberry (2011, p. 131):

(3)

O Script GK4.R foi alterado para processar o sistema de equações (3), conforme apresentado no Script GK7.R.

Como se observa, o resultado obtido, mesmo com 500 iterações, não converge para a solução exata x’=[3,7,-2], obtida por meio da função de biblioteca solve().

Referências bibliográficas

Dunn, F.; Parberry, I. 2011. 3D Math primer for graphics and game development. Boca Raton, CRC Press. 824p.

Quarteroni, A.; Sacco, R.; Saleri, F. 2007. Iterative methods for solving linear systems. In: Numerical Mathematics. Texts in Applied Mathematics, V. 37, p. 123-181. New York, Springer.

Próximos artigos

Nos próximos artigos, pretende-se intercalar tópicos ligados à álgebra linear com aqueles referentes à estatística inferencial, sobretudo aos métodos usados para teste de hipóteses. Todos esses artigos serão derivados de novo livro em preparação: R na prática.

Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

Comentários

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Carregando...

0

Método Iterativo de Gauss Seidel para Resolução de Sistemas Lineares – PARTE 2

Análise de Variância (Anova) E Regressão Linear Múltipla – Parte 1