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Como posso calcular a moda de minha distribuição de frequências?

A moda, por definição, é o valor mais frequente da distribuição de frequências. Para variáveis discretas, a moda é facilmente definida pela simples verificação da tabela de frequências, sendo a moda atribuída ao tipo que tem maior frequência. Neste artigo vamos ver como calcular a moda da distribuição de frequências.

Entretanto, para variáveis contínuas, nem sempre isso é possível, pois os valores amostrados podem simplesmente não se repetir e, assim, todos os dados apresentarem frequências iguais a 1/N. Por que 1/N?

O Conceito de Probabilidade

Então, antes de calcular a moda, vamos revisar o conceito de probabilidade. Se o espaço amostral é composto por um número finito de realizações a1, a2, … , aN, tem-se (Spiegel et al. 2013, p. 6):

Onde A1, A2, …, AN são eventos elementares dados por Ai={ai}.

Assumindo probabilidade iguais para todas as realizações ou eventos simples, tem-se (Devore, 2000, p. 64; Spiegel et al. 2013, p. 6):

A melhor opção seria analisar o histograma, sabendo-se que a moda estará contida no intervalo de classe de maior frequência. Isto significa calcular a moda a partir de dados agrupados. Existem dois métodos para determinação da moda a partir de dados agrupados (Francis, 2004, p. 117):

  • Interpolação numérica;
  • Determinação gráfica.

A interpolação da moda pode ser feita com base na seguinte fórmula (Francis, 2004, p. 118):

onde L é o limite inferior da classe modal; C é a largura da classe modal; D1 é a diferença entre a maior frequência e a frequência da classe imediatamente anterior; D2 é a diferença entre a maior frequência e frequência da classe imediatamente seguinte.

Interpretação Gráfica da Moda

A moda também pode ser determinada graficamente, como ilustrada na Figura 1, por meio do ponto de intersecção entre as duas retas (Francis, 2004, p. 119). Esta construção gráfica permite obter a moda com uma boa precisão, pois ela é influenciada pela frequência da classe anterior ou posterior. No caso da Figura 1, a frequência f3 desloca a moda para direita.

Figura 1: Desenho esquemático ilustrando a determinação gráfica da moda, por meio do ponto de intersecção entre as duas retas (esquema baseado em Francis, 2004, p. 119).

Sejam três conjuntos de pontos de dados, denominados: positive100.csv, simetrica100.csv e negative100.csv. A partir de seus histogramas, localizou-se as classes modais, ou seja, as classes de maior frequência.

Identificadas as classes modais, pode-se determinar a moda gráfica ou numericamente, pois essas aproximações são absolutamente equivalentes. A Figura 2 exemplifica o procedimento gráfico para determinação das modas das distribuições de frequências em estudo.

Figura 2: Determinação gráfica da moda: (A) positive100.csv; (B) simetrica100.csv e (C) negative100.csv.

Como se pode observar na Figura 2, a determinação da moda deve levar em consideração a maior frequência imediatamente anterior ou posterior à classe modal, pois ela desloca a moda nessa direção.

Analiticamente, pode-se determinar a moda, conforme os resultados apresentados para as distribuições positive100.csv, simetrica100.csv e negative100.csv, respectivamente.

(positive100.csv)
(simetrica100.csv)
(negative100.csv)

Conclusão

Como se pode verificar, a atribuição da moda como o ponto médio da classe modal é uma aproximação que pode resultar em erro, principalmente quando a distribuição de frequências apresentar assimetria positiva.

No próximo artigo, apresentaremos um script para calcular a moda usando a linguagem R. Aguarde!

Observação: este artigo foi derivado Yamamoto (2020) “Análise estatística”.

Referências bibliográficas:

Devore, J.L. 2000. Probability and statistics for engineering and the sciences. Pacific Grove, Duxbury. 775p.

Francis, A. 2004. Business mathematics and statistics. Hampshire, South-Western. 665p.

Spiegel, M.T.; Schiller, J.J.; Srinivasan, R.A. 2013. Probability and Statistics. New York, Mc Graw Hill. 424p.

Yamamoto, J.K. 2020. Análise estatística. In: Yamamoto, J.K. Estatística, análise e interpolação de dados geoespaciais. São Paulo, JK Yamamoto. 355p. Lançamento para julho/agosto de 2020.

Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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