O Espaço Vetorial das Composições

Introdução

Nesta parte, vamos ver como as composições integram uma estrutura de espaço vetorial, base para algumas aplicações importantes, como a estatística multivariada. Embora pareça óbvio, é bom lembrar que, no espaço simplex – que é o espaço das composições -, não contamos mais com as propriedades do espaço euclidiano, então é preciso reinventar a roda.

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Operações com Composições

Perturbação ou soma

Um exemplo pode ser encontrado em Boogaart e Tolosana-Delgado (2013) na conversão de proporções de dados nutricionais – gordura, carboidratos e proteínas (g) em proporções de energia(kJ/g). Para uma amostra x com os nutrientes x= [7 10 13] e para um conteúdo energético proporcional de cada componente y= [37 17 17], aplicando-se a operação, obtém-se:

que são as proporções energéticas de cada componente da amostra.

Potenciação ou Produto por uma constante

A potenciação é um produto externo no sentido que a álgebra linear atribui, portanto, tem as propriedades de associatividade e distributividade.

 é um espaço vetorial.

 

Produto Interno (de Aitchinson)

g_m é a média geométrica.

 

Elemento inverso

 

Subtração

 

Norma

 

Distância

 

Variância generalizada ou total

 

Matriz de variâncias e covariâncias das composições transformadas clr

Exemplo

No artigo sobre estatísticas descritivas composicionais, apresentamos essa matriz para a amostra considerada.

Uma aplicação das operações de perturbação e potenciação vistas acima é a padronização de dados composicionais via a fórmula seguinte:

Computacionalmente obtemos, para as 10 primeiras amostras, os valores padronizados: