Geoestatística Multivariada - Retrospectiva da Geoestatistia, Geokrigagem
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Retrospectiva da Geoestatística XIV: Geoestatística Multivariada (Wackernagel, 1998)

Geoestatística Multivariada (título original: Multivariate Geostatistics, por Hans Wackernagel, 1998)

 

A obra

Em 1998, Hans Wackernagel publica sua segunda edição do livro intitulado “Geoestatística Multivariada”, que se encontra atualmente na terceira edição.

3ª edição da obra “Multivariate Geostatistics”, de Hans Wackernagel (1998). Fonte: acervo Geokrigagem.

Capítulos

Esta obra é composta por cinco capítulos:

A. Da estatística para geoestatística;

B. Geoestatística;

C. Análise multivariada;

D. Geoestatística multivariada;

E. Geoestatística não estacionária.

Introdução

Na introdução, o autor descreve as três questões principais envolvendo a análise de fenômenos espaciais e temporais: descrição dos dados, interpretação e estimativa (Wackernagel, 1998, p. 1-2).

Com relação à descrição de dados, esse autor afirma que os dados precisam ser explorados para verificação das estruturas espacial, temporal e multivariada para identificação dos valores anômalos que a mascaram. Esse trabalho pode ser feito com um mapa da posição das amostras no espaço ou no tempo que pode ser associado com histogramas, diagramas de correlação, nuvens de variogramas e variogramas experimentais, que dão as primeiras ideias dessas estruturas.

Interpretação dos dados

A questão da interpretação é feita a partir dos gráficos obtidos anteriormente com base na experiência passada com dados similares e fatos científicos relacionadas às variáveis em estudo (Wackernagel, 1998, p. 2). Ainda segundo esse autor, a interpretação da estrutura espacial ou temporal, as associações e as relações causais entre variáveis são usadas para um modelo que é ajustado aos dados.

Segundo Wackernagel (19987, p. 2), esse modelo não apenas descreve o fenômeno nos pontos amostrais, mas geralmente é válida para toda a região amostrada e assim representa um passo além da informação contida nos dados numéricos.

Assim, a partir do modelo de variação da estrutura espacial ou temporal, o próximo passo é a estimativa dos valores do fenômeno em estudo, em várias escalas e localizações diferentes dos pontos amostrais (Wackernagel, 1998, p. 2). Conforme esse autor, as estimativas são baseadas no método dos mínimos quadrados que precisa ser adaptado para uma grande variedade de situações e problemas encontrados na prática.

Parte A – Da estatística para a Geoestatística

Na parte A, Wackernagel (1998, p. 7-12) revisa os conceitos de probabilidade e estatística; trata da questão da regressão linear e mostra a krigagem simples como uma transposição da regressão múltipla em um contexto espacial; apresenta a questão da krigagem da média ponderada, que leva em conta o conhecimento da correlação espacial das amostras. Nesta parte, Wackernagel (1998, p. 19) apresenta a equação (1) da regressão múltipla de uma variável Zo em função de N variáveis auxiliares {Zi, i=1,N}:

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Onde mi* são as respectivas médias das diferentes variáveis.

Observe-se que a forma da equação (1) é muito similar à equação da krigagem simples.

Parte B – Geoestatística

A parte B é dedicada à geoestatística, propriamente dita. Wackernagel (1998, p. 39-40) define claramente uma função aleatória, bem como uma variável aleatória Z(xo) como realização de uma variável regionalizada z(xo). Assim, mostra que nesse modelo, o mecanismo aleatório Z(xo) no ponto xo da região de estudo gera realizações seguindo uma distribuição de probabilidade F (expressão 2):

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Onde P é a probabilidade que uma realização de Z no ponto xo é menor ou igual que um determinado valor de z (Wackernagel, 1998, p. 41). Note-se que essa relação (2) será empregada muitas vezes em nosso livro. Interessante também apresentar o variograma de potência na forma representada na Figura 1.14 (Wackernagel, 1998, p. 51).

Figura 1: Variograma de potência, para p iguais a 0,5, 1,0 e 1,5 (segundo Wackernagel, 1998, p. 51).
Figura 1: Variograma de potência, para p iguais a 0,5, 1,0 e 1,5 (segundo Wackernagel, 1998, p. 51).

Parte C – Análise Multivariada

Os demais itens desta parte constituem os assuntos tratados na geoestatística. Na parte C, Wackernagel (1998, p. 127-135) revisa os conceitos de análise multivariada: análise dos componentes principais, análise canônica e análise de correspondência. Após essa revisão, o autor trata da questão da geoestatística multivariada, que constitui a parte D (Wackernagel, 1998, p. 145-196). Basicamente, o autor aborda a modelagem da correlação espacial cruzada necessária para as técnicas de cokrigagem, que serão tratadas neste livro (capítulo Y).

Parte D – Geoestatística Multivariada

Destaca-se o último item da parte D, onde é apresentada a questão da krigagem de uma variável complexa (Wackernagel, 1998, p. 187-196). Como exemplo, o autor sugere o uso de uma função aleatória complexa para modelar dados direcionais em duas dimensões:

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Onde R(x) é a intensidade e Θ(x) é a direção. Uma representação alternativa (equação acima) pode ser feita como (Wackernagel, 1998, p. 187):

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Onde U(x) e iV(x) são as coordenadas de um plano complexo (Figura 2).

Figura 2: Representação da variável aleatória Z(x) no plano complexo (Wackernagel, 1998, p. 188).
Figura 2: Representação da variável aleatória Z(x) no plano complexo (Wackernagel, 1998, p. 188).

A krigagem de uma variável complexa, com base na covariância complexa, pode ser feita, conforme (Wackernagel, 1998, p. 188):

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Em termos das partes real e imaginária de Z(x), a equação (4) pode ser reescrita como (Wackernagel, 1998, p. 188):

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Observe-se que para implementar a krigagem complexa, é necessário modelar as covariâncias CRe(h) e CIm(h) em uma forma consistente, de tal maneira que C(h) seja uma função de covariância complexa (Wackernagel, 1998, p. 189).

Parte E – Geoestatística não estacionária

A geoestatística não estacionaria é tratada na parte E (Wackernagel, 1998, p. 199-225). Nesta parte, destaca-se a krigagem com deriva externa, conforme a equação (1.37):

Equação de Multivariate Geostatistics (Geoestatística multivariada), por Hans Wackernagel (1998)

Onde Z(x) é a variável primária pobremente amostrada, mas exata. Enquanto, s(x) é a variável secundária intensamente amostrada, mas imprecisa. Demais detalhes desta técnica serão apresentados no Capítulo 8.

 

Referência

WACKERNAGEL, H. Multivariate Geostatistics – An Introduction With Applications. Fontainebleau, Springer, 1998. 387p.

 

Leia a primeira resenha da série:

Retrospectiva da Geoestatística I: Tratado de Geoestatística Aplicada (Matheron)

 

 

 

 

 

 

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Jorge Kazuo Yamamoto

Escrito por Jorge Kazuo Yamamoto

Prof. Dr. Jorge Kazuo Yamamoto, fundador da Geokrigagem, é geólogo, foi pesquisador do IPT e docente do Instituto de Geociências da USP, onde se aposentou como Professor Titular do Departamento de Geologia Sedimentar e Ambiental. Atualmente, atua como Professor Sênior do Departamento de Engenharia de Minas e de Petróleo – Escola Politécnica – USP. É responsável pela disciplina “Métodos geoestatísticos” na Pós-Graduação do IPT – Investigação do subsolo: Geotecnia e Meio Ambiente. Dedica-se ao ensino de geoestatística, com ênfase no desenvolvimento de algoritmos e pesquisa de novas aplicações, tais como: variância de interpolação, cálculo da variância global de depósitos minerais e correção do efeito de suavização da krigagem. Ultimamente, seu interesse está voltado para o ensino e divulgação da linguagem R.

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